1+1=2的证明及意义

我们从小学开始就开始学数学，当教过阿拉伯数字以后，应该就开始教加法了。所以任何一个学过数学的都应该知道1+1=2（你非要说你不知道……我也表示无奈）

我第一次听说1+1=2需要证明，是一次被校长叫去训话（可见我小时候调皮……），他跟我说：“虽然你很聪明，但是很多事情要从基础做起，人家陈景润用了一辈子来证明1+1=2

于是问题就来了，凭什么1+1=2，而不是3呢。或者4,5,6。有人说那好办，我强制定义1+1=2，就可以解决问题了。那么1+2=3又如何证明呢。难道又要定义1+2=3，接着1+3=4？那么，你所面对的就是无数个定义。

好了，其实事情没有那么麻烦，我在网上看到了一个1+1=2的证明，加上了一些自己的改动，如果有不对，请指正（PS：不对的可能性非常大）

我们先假定我们什么都不知道，真的什么都不知道，包括加号是干什么用的我们都统统忘掉。我们做如下公设：

  P1.  1是自然数（注意，在我的证明里，0不是自然数，认为0是自然数的人请自己修正）
  P2.  x是自然数，且其后继数x'也为自然数（后继数即紧跟x后面的那个数）
  P3.  1不是任何数的后继数
  P4.  如果x不是1，那么一定存在另外的一个数y他的后继数y'=x
  P5.  一个命题，对1成立，且当假设n成立时，也能对n'成立，则此命题为真（即数学归纳法的前提，这个公理被成为归纳公设）


接下来，我们定义加号的作用：
       我们定义a+b在b=1的时候为a的后继数a'
       如果b不是1，则存在c' = b,其中c也是自然数(利用P1和P2).
       则定义a + b = (a + c)'. (利用P4),


那么我们可以得到1+1=1'，即1+1得到的是1的后继数。


那么一切都好办了，如果我们约定俗成：自然数是按1,2,3,4,5排列的，那么1+1=2，同理2+1=3
按照后一个定义，2+2得到的是2+1的后继数即3的后继数，即为4。

这个解法的精髓在于重新定义了加号，即3+2=（3+1）'也就是3+2得到的是3+1的后面一个数。然后就只要定义3+1后面是什么就好了

当然，还有很多种证明方法。我也不一一列举了

许多人看完可能会认为，这样的绕圈子有什么含义吗，直接定义1+1=2，或者1+2=3不简单的多吗。

其实我觉得，这样证明是有含义的。首先，这样的方法证明了1+1=2并非是公理。他可以被集合论和符号定义证明。这改变了数学的理论体系。数学的基础不再是加法，而是集合论与符号定义。

第二，这个证明在不改变数学结果的情况下重新定义了加号。加号不再意味着一根香蕉加一根香蕉等于两根香蕉，而是1+1得到的结果应该是1的后继数，至于1的后继数是多少就看你需要了。

最后，吐槽一下我那位小学校长，人家陈景润研究的1+1=2事实上是哥德巴赫猜想，跟真正的1+1=2没有什么关系，这个是为了方便人们理解，而做的比方